Какой в них смысл? Первое, что приходит в голову в ответ на этот вопрос — а для чего вообще их решать?
Оказывается, решать уравнения ради самих уравнений, действительно, имеет мало смысла. За каждым уравнением стоит реальная задача. Появились задачи, а уже потом уравнения, позволяющие эти задачи решать.
Задача, с которой, возможно, зародилась идея уравнений.
Племя запасло на зиму некоторое количество мамонтов. Одного мамонта съели. Выяснилось, что запас на зиму исчерпан. Сколько мамонтов было запасено?
Как решить эту задачу?
Решить задачу – найти неизвестную величину
В любой задаче обычно надо найти какую-нибудь неизвестную величину. Решить задачу как раз и означает найти эту неизвестную величину.
Для решения задач специально придуман инструмент, который называется «уравнение». Уравнение – это фраза на языке математики, соответствующая условию задачи. Попробуем перевести текст нашей задачи на язык математики. Для перевода нужен словарь. Составим его.
Надо найти количество запасённых мамонтов, судя по вопросу. Обозначим это количество буквой М. Больше всего мне она напоминает мамонтов, о которых идёт речь.
Запишем равенство: количество запасённых мамонтов = М. В задаче нет других неизвестных величин.
Теперь перейдем к переводу.
Племя запасло некоторое количество мамонтов на зиму.
Используя наш словарь, запишем: М. Означает, что до того, как мамонты начали есть, их количество было равно М.
Продолжим чтение.
Запас на зиму исчерпан, что означает, что количество мамонтов стало равно нулю. Таким образом, записываем уравнение М-1=0 для нахождения неизвестного количества мамонтов М. Решаем уравнение, чтобы найти значение М.
М-1=0. Это уравнение означает, что мы должны переформулировать фразу “неизвестное количество запасённых мамонтов М” на языке математики, чтобы понять, чему оно равно. Посмотрим внимательно на уравнение: М-1=0. Мы вычли единицу из неизвестного количества мамонтов М. Чтобы вернуться к исходному количеству мамонтов, нужно прибавить единицу к М-1.
Таким образом, мы добавим 1 к М-1.
Смысл уравнений
Правила математики следят за сохранением смысла при решении уравнений. Важно не нарушить смысл уравнения, который находится за ним. Изменение этого смысла может привести к ошибочному определению количества запасенных мамонтов, неправильной оценке имеющегося запаса и неправильному выводу о необходимом количестве запасов на будущий год. Это может иметь печальные последствия.
Правила математики возникли из жизни и необходимы для того, чтобы сохранить смысл и достоверность решений.
В своё время, когда мы играли во дворе в футбол, все наши дворовые футболисты были примерно равны по силе. Поэтому мы делали команды так, чтобы в каждой было одинаковое количество игроков. Например, “5 на 5”. Если кто-то ещё хотел присоединиться, мы предлагали ему найти себе партнёра, чтобы они вошли в разные команды и не нарушили баланс. Когда они находили пару, мы начинали играть “6 на 6”, добавляя по одному игроку в каждую команду. Такой же принцип действует и в уравнениях: если что-то меняешь в одной части уравнения (команде), делай то же самое и в другой.
Если мы хотим сохранить смысл фразы М-1=0, то необходимо добавить единицу к обеим сторонам уравнения. Таким образом, вернем на место съеденного мамонта, добавив 1 к левой части уравнения. Чтобы сохранить «равенство сил команд», также добавим единицу к правой части. Получим следующее: М-1+1=0+1. В результате, в уравнении возникают арифметические действия, которые можно вычислить для упрощения уравнения. Это называется «упростить выражение» на языке математики.
Если мы можем сосчитать, сколько будет -1+1 и 0+1, то всё прекрасно. Мы считаем: -1+1=0. 0+1=1. Поэтому наша фраза М-1=0 постепенно меняет свой смысл, сохраняя смысл: М-1+1=0+1, М+0=1.
Мы знаем, что М+0=М, то есть если добавить ноль к любому количеству мамонтов, это количество останется неизменным (это также важное правило математики). Мы приходим к фразе М=1.
В левой части у нас неизвестная величина, а в правой конкретное число. И они равны друг другу. Это означает, что мы нашли неизвестную величину! Это была наша цель. Задача решена.
Для перевода полученного результата с языка уравнений на человеческий, осознаем следующее: «М=1» означает, что у нас есть один запасённый мамонт.
Теперь мы можем записать ответ: мы запасли одного мамонта на зиму.
Практическая задача была решена с помощью уравнения.
Конечно, существуют более сложные задачи и, следовательно, более сложные уравнения. Однако, принцип решения всегда остается одним и тем же.
